Дорогие ребята!
Вам предлагаются интересные математические задачи, к которым даны подсказки, решения и ответы.
Не обязательно решать всё подряд. Если какая-нибудь задача показалась вам слишком трудной или неинтересной — можете её пропустить. Не огорчайтесь, если что-то не будет получаться, и не стремитесь сразу заглянуть в решение или ответ. Лучше всего поступать так.
Сначала, конечно, подумайте. Может быть, вы всё же сможете самостоятельно решить задачу. Ну, а не сможете — посмотрите подсказку и подумайте ещё. И уж если и после этого ничего не получится —прочтите решение.
Задачи
1. Улитка ползёт вверх по столбу высотой 10 м. За день она поднимается на 5 м, а за ночь — опускается на 4 м. За какое время улитка доберётся от подножья до вершины столба?
2. Кот в Сапогах поймал четырех щук и ещё половину улова. Сколько щук поймал Кот в Сапогах?
3. Кирпич весит 2 кг и ещё треть собственного веса. Сколько весит кирпич?
4. Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Дедка, Бабка, Внучка, Жучка и Кошка вместе с Мышкой могут вытащить Репку, а без Мышки — не могут. Сколько надо позвать Мышек, чтобы они смогли сами вытащить Репку?
5. Три слога в слове. Первый слог —
Большой снеговика кусок.
Осуществляют слог второй
Слоны, придя на водопой.
А третий слог зовётся так,
Как прежде звался твёрдый знак.
Соедини все три как надо —
Получишь ЭВМ в награду!
6. В дремучем Муромском лесу из-под земли бьют десять источников мёртвой воды: от № 1 до № 10. Из первых девяти источников мёртвую воду может взять каждый, но источник № 10 находится в пещере Кощея, в которую никто, кроме самого Кощея, попасть не может. На вкус и цвет мёртвая вода ничем не отличается от обыкновенной, однако, если человек выпьет из какого-нибудь источника, он умрёт. Спасти его может только одно: если он запьёт ядом из источника, номер которого больше. Например, если он выпьет из седьмого источника, то ему надо обязательно запить ядом № 8, № 9 или № 10. Если он выпьет не седьмой яд, а девятый, ему может помочь только яд № 10. А если он сразу выпьет десятый яд, то ему уже ничто не поможет. Иванушка-дурачок вызвал Кощея на дуэль. Условия дуэли были такие: каждый приносит с собой кружку с жидкостью и даёт её выпить своему противнику. Кощей обрадовался: «Ура! Я дам яд № 10, и Иванушка-дурачок не сможет спастись! А сам выпью яд, который Иванушка-дурачок мне принесёт, запью его своим десятым и спасусь!» В назначенный день оба противника встретились в условленном месте. Они честно обменялись кружками и выпили то, что в них было. Каковы же были радость и удивление обитателей Муромского леса, когда оказалось, что Кощей умер, а Иванушка-дурачок остался жив! Только Василиса Премудрая догадалась, как удалось Иванушке победить Кощея. Попробуйте догадаться и вы.
7. Можно ли в тетрадном листке вырезать такую дырку, через которую пролез бы человек?
8. Три купчихи — Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна — сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна — 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна — 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?
9. В книжном шкафу стоят по порядку четыре тома собрания сочинений Астрид Линдгрен, по 200 страниц в каждом томе. Червячок, живущий в этом собрании, прогрыз путь от первой страницы первого тома до последней страницы четвёртого тома. Сколько страниц прогрыз червячок?
10. В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину?
11. Имеются двое песочных часов—на 7 минут и на 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?
12. Зайцы пилят бревно. Они сделали 10 распилов. Сколько получилось чурбачков?
13. Зайцы распилили несколько брёвен. Они сделали 10 распилов и получили 16 чурбачков. Сколько брёвен они распилили?
14. Бублик режут на сектора. Сделали 10 разрезов. Сколько получилось кусков?
15. Чем объяснить, что в задачах 12 и 14 ответы разные?
16. На большом круглом торте сделали 10 разрезов так, что каждый разрез идёт от края до края и проходит через центр торта. Сколько получилось кусков?
17. У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своём торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этому одного получилось три куска, а у другого — четыре. Как это могло быть?
18. Зайцы снова пилят бревно, но теперь уже оба конца бревна закреплены. Десять средних чурбачков упали, а два крайних так и остались закреплёнными. Сколько распилов сделали зайцы?
19. Как разделить блинчик тремя прямолинейными разрезами на 4, 5, 6, 7 частей?
20. На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?
21. Можно ли испечь такой торт, который может быть разделён одним прямолинейным разрезом на 4 части?
22. На какое максимальное число кусков можно разделить круглый блинчик при помощи трех прямолинейных разрезов?
23. Во сколько раз лестница на четвёртый этаж дома длиннее, чем лестница на второй этаж этого же дома?
24. Отличник Поликарп и двоечник Колька составляли максимальное 5-значное число, которое состоит из различных нечётных цифр. Поликарп своё число составил правильно, а Колька ошибся — он не заметил в условии слово «различных», и очень радовался, что его число оказалось больше, чем число Поликарпа. Какие числа составили Поликарп и Колька?
25. Отличник Поликарп и двоечник Колька составляли минимальное 5-значное число, которое состоит из различных чётных цифр. Поликарп своё число составил правильно, а Колька ошибся. Однако оказалось, что разность между Колькиным числом и правильным ответом меньше 100. Какие числа составили Поликарп и Колька?
Подсказки
1. Где будет находиться улитка к концу третьей ночи? А к началу
третьей ночи?
2. Какую часть улова составляют 4 щуки?
3. Вспомните задачу 2.
4. Скольких Мышек заменяет Кошка? А Внучка?
5. В старой русской азбуке буквы Ъ, Ь и Ы назывались, соответственно, «ер», «ерь» и «еры».
6. Яд может быть и ядом, и противоядием в зависимости от того, когда он выпит.
7. Попробуйте сложить лист вдвое и вырезать вдоль линии сгиба узкое отверстие. Вы получите узкую дыру с широкими краями. Попробуйте увеличить «длину» краёв за счёт уменьшения их «ширины».
8. Заметьте, чашка, выпитая каждой купчихой, фигурировала в условии задачи дважды — один раз как выпитая с одной подругой, второй раз — с другой.
9. Попробуйте вспомнить, как стоят на книжной полке тома из собрания сочинений.
10. Обратите внимание, за сутки число лотосов удваивается.
11. Заметьте, с помощью двух разных песочных часов можно отмерить не только время, равное их «сумме», но и время, равное их «разности».
12. На сколько частей бревно делится первым распилом? Как изменяется число кусков после каждого следующего распила?
13. Вспомните задачу 12.
14–15. Обратите внимание: чтобы из бублика «сделать» бревно, понадобится один разрез.
16. Заметьте: десять разрезов — это 20 радиусов.
17. Обратите внимание: разрезы могут пересекаться.
18. Сколько чурбачков получили зайцы?
19. Число частей зависит от того, пересекаются ли разрезы между собой внутри блинчика.
20. Помните ли вы, что если фигура имеет центр симметрии, то любая прямая, проходящая через него, делит эту фигуру на две равные части?
21. Заметьте, торт не обязательно должен быть выпуклой фигурой.
22. Вспомните задачу 19.
23. Подумайте, сколько этажей надо пройти, чтобы подняться на второй?
24. Подумайте, какими должны быть первые цифры искомых чисел.
25. Подумайте, какими должны быть две первые цифры числа Поликарпа и две последние цифры Колькиного числа.
Решения
1. Часто получают в ответе 10 суток, рассуждая так: за сутки улитка поднимается на 1 м, следовательно, на высоту 10 м она поднимется через 10 суток. Но при этом забывают, что к концу дня улитка бывает значительно выше, чем к концу ночи. К концу пятых суток улитка окажется на высоте 5 м, а к началу шестой ночи — на высоте 10 м. Значит, вершины столба улитка достигнет за пять с половиной суток.
2. Часто получают в ответе 6 щук, рассуждая так: улов состоит из четырех щук и ещё половины от четырех щук, следовательно, улов— 6 щук. Это неверно. Поскольку 4 щуки составляют половину улова, то весь улов — 8 щук.
3. Задача аналогична предыдущей. Ответ: 3 кг.
4. Кошка заменяет 6 Мышек. Жучка заменяет 5×6 Мышек. Внучка заменяет 4× 5× 6 Мышек. Бабка заменяет 3× 4× 5 ×6 Мышек. Дедка заменяет 2× 3× 4× 5× 6 Мышек. Итого потребуется:
(2×3×4×5×6) + (3×4×5×6) + (4×5×6) + (5×6) +6+1=1237 Мышек.
5. КОМ+ПЬЮТ+ЕР = КОМПЬЮТЕР.
6. В зависимости от того, когда выпит яд, он может служить и ядом, и противоядием. Иванушка дал Кощею простой воды, поэтому яд №10, выпитый Кощеем как противоядие, подействовал как яд. Перед тем как выпить яд № 10, который дал Кощей, Иванушка выпил любой другой яд, поэтому Кощеев яд стал противоядием.
8. Чашка, выпитая каждой купчихой, учитывалась дважды — один раз как выпитая с одной подругой, второй — с другой. Если мы сложим все учтённые чашки, то получим удвоенную сумму выпитых чашек. Значит, нужно разделить эту сумму пополам. Ответ: 20 чашек.
9. Обратите внимание: когда тома стоят на полке по порядку, то первая страница 1-го тома прикасается к последней странице 2-го тома, а последняя страница 4-го тома прикасается к первой странице 3-го тома. Таким образом, червячок прогрыз только 2-й и 3-й тома, т. е. 400 страниц.
10. Если вы прочтёте условие задачи внимательно, то поймёте, что озеро было заполнено наполовину через 29 суток. За сутки до того, как озеро заполнится, оно будет заполнено ровно наполовину.
11. «Включим» одновременно двое часов. Когда 7-минутные часы пересыпятся, перевернём их и дадим сыпаться 4 минуты, до окончания пересыпания 11-минутных часов. Если теперь перевернуть 7-минутные часы, они будут сыпаться ровно 4 минуты, а всего часы «сыпались» 15 минут, что и требовалось.
12. Чурбачков всегда на 1 больше, чем распилов, поскольку первый распил делит бревно на две части, а каждый следующий прибавляет ещё один чурбачок. Ответ: 11 чурбачков.
13. Из каждого бревна получается на 1 чурбачок больше, чем сделано распилов. Раз чурбачков на 6 больше, значит, было 6 брёвен.
14. Когда на части режут бублик, число разрезов и число секторов совпадают, поскольку один разрез нужен для того, чтобы «сделать» из бублика бревно.
15. См. решение задачи 14.
16. Десять разрезов — это 20 радиусов, которые делят круглый торт на 20 секторов.
17. Это могло получиться, если в первом случае разрезы не пересекались между собой, а во втором — пересеклись. Например, если в первом случае разрезы были параллельны друг другу, а во втором — перпендикулярны.
18. Зайцы получили 12 чурбачков — 10 упавших и 2 закреплённых. Значит, распилов было 11.
19. Проведём в блинчике три прямые и рассмотрим точки их пересечения. В зависимости от того, где будут расположены эти точки, получится то или иное количество частей. Чтобы получить 4 части, надо все три точки расположить вне блинчика (рис. 19.1). Перенос одной из этих точек из-за границы блинчика внутрь добавляет одну часть. Так, чтобы получить 5 частей, надо одну точку перенести внутрь блинчика (рис. 19.2), 6 — ещё одну точку перенести внутрь блинчика (рис. 19.3), 7 — все три точки пересечения расположить внутри блинчика (рис. 19.4).
20. Если фигура имеет центр симметрии, то любая прямая, проходящая через него, делит эту фигуру на две равные части. Поэтому для того чтобы одновременно разрезать и торт и шоколадку на две равные части, надо провести прямую через центр торта и центр шоколадки.
21. Если бы торт был выпуклой фигурой, этого сделать было бы нельзя, но ведь нигде не сказано, что он должен быть таким. Можно, например, испечь торт в виде буквы «Ш» и разрезать так, как показано на рисунке.
22. Если из трех прямых каждые две пересекаются внутри блинчика, получится 7 кусков (см. рис. 19.4). Если же из этих прямых какие-нибудь две параллельны или пересекаются за пределами блинчика, то кусков будет меньше.
23. Для того чтобы подняться на 2-й этаж, надо пройти 1-й этаж, а для того чтобы подняться на четвёртый — надо пройти три этажа. Итак, ответ: в 3 раза (а вовсе не в 2, как кажется сначала).
24. В число Поликарпа будут входить цифры 1, 3, 5, 7, 9. Для того, чтобы оно было наибольшим, надо цифры в нём записать строго в обратном порядке: 97531. В Колькино же число войдут пять цифр 9, и его число будет 99 999.
25. Если действовать так же, как в предыдущей задаче, Поликарп должен был бы составить число 02 468, но первая цифра не может быть нулём, так что Поликарп составил число 20 468. Попробуем найти Колькино число. Оно больше, чем число Поликарпа, но состоит из тех же цифр. Первые три цифры изменить нельзя, поскольку тогда разность между числами Кольки и Поликарпа будет больше 100. Заменить можно только 4-ю цифру, причём менять её можно только на пятую, иначе опять разность будет больше 100. Значит, Колькино число 20 486.
Комментарии
Отправить комментарий